Математическая теория солнечных календарей и их точность

Календарный год должен содержать целое число суток: либо 365, либо 366. Поэтому для согласования календарного года с тропическим необходимо через определенное число простых лет, содержащих 365 дней, вводить високосные годы в 366 дней.

Конечно, невозможно сразу сказать, как часто и в какой последовательности должны быть расставлены простые и високосные годы, чтобы средняя продолжительность года как можно ближе была равна длине тропического года.

Длину тропического года выше мы приняли равной 365,24220 средних солнечных суток (всего на 0,1 секунды больше ее действительной величины!). Следовательно, простой год в 365 дней окажется более коротким на 0,24220 суток.

Представим эту десятичную дробь в виде простой дроби: 24 220/100 000 или 1211/5000. Это значит, что расхождение за 5000 лет составит 1211 суток. Для того чтобы среднюю продолжительность календарного года приблизить к продолжительности тропического года, надо за эти 5000 лет в календарный счет ввести 1211 високосных лет.

Чтобы не связывать исправления календаря со столь длительным промежутком времени, попытаемся представить дробь 1211/5000 другой дробью, у которой числитель и знаменатель будут меньшими, но сама дробь будет по своей величине близка к дроби 1211/5000.

Для решения поставленной задачи воспользуемся способом последовательного деления, известным в теории чисел под названием алгоритма Евклида.

Способ последовательного деления дает возможность правильную дробь представить в виде цепной (или непрерывной) дроби. При этом числовые значения последовательно получаемых дробей называются подходящими дробями. Точное значение цепной дроби всегда находится между двумя соседними подходящими дробями, причем оно ближе к последующей, чем к предыдущей подходящей дроби.

Найдем несколько последовательных подходящих дробей К1, К2, K3,... Для отыскания первой подходящей дроби K1 надо числитель и знаменатель дроби разделить на числитель и представить ее в таком виде:

 

 

Если пренебречь дробью 156/1211, то первая подходящая дробь К1 будет равна 1/4 или в десятичных знаках (с точностью до пятого знака после запятой) 0,25000.

Полученная нами в результате первого приближения подходящая дробь отличается от дроби 0,24220 на величину 0,00780. Эта разность еще слишком велика. Поэтому продолжим наши расчеты и попытаемся найти подходящую дробь К2, которая будет меньше отличаться от дроби 0,24220.